©PaperWeekly 原创 · 作者 | 苏剑林到目前为止，笔者给出了生成扩散模型 DDPM 的两种推导，分别是《生成扩散模型漫谈：DDPM = 拆楼 + 建楼》中的通俗类比方案和《生成扩散模型漫谈：DDPM = 自回归式 VAE》中的变分自编码器方案。两种方案可谓各有特点，前者更为直白易懂，但无法做更多的理论延伸和定量理解，后者理论分析上更加完备一些，但稍显形式化，启发性不足。
在这篇文章中，我们再分享 DDPM 的一种推导，它主要利用到了贝叶斯定理来简化计算，整个过程的“推敲”味道颇浓，很有启发性。不仅如此，它还跟我们后面将要介绍的 DDIM 模型 [1] 有着紧密的联系。
再次回顾，DDPM 建模的是如下变换流程：
其中，正向就是将样本数据 逐渐变为随机噪声 的过程，反向就是将随机噪声 逐渐变为样本数据 的过程，反向过程就是我们希望得到的“生成模型”。
DDPM 要做的事情，就是从上述信息中求出反向过程所需要的 ，这样我们就能实现从任意一个 出发，逐步采样出 ，最后得到随机生成的样本数据 。
下面我们请出伟大的贝叶斯定理 [2]。事实上，直接根据贝叶斯定理我们有然而，我们并不知道 的表达式，所以此路不通。但我们可以退而求其次，在给定 的条件下使用贝叶斯定理：
这样修改自然是因为 都是已知的，所以上式是可计算的，代入各自的表达式得到：
推导：上式的推导过程并不难，就是常规的展开整理而已，当然我们也可以找点技巧加快计算。首先，代入各自的表达式，可以发现指数部分除掉 因子外，结果是：它关于 是二次的，因此最终的分布必然也是正态分布，我们只需要求出其均值和协方差。不难看出，展开式中 项的系数是
所以整理好的结果必然是 的形式，这意味着协方差矩阵是 。另一边，把一次项系数拿出来是 ，除以 后便可以得到
现在我们得到了 ，它有显式的解，但并非我们想要的最终答案，因为我们只想通过 来预测 ，而不能依赖 是我们最终想要生成的结果。接下来，一个“异想天开”的想法是：如果我们能够通过 来预测 ，那么不就可以消去 中的 ，使得它只依赖于 了吗？说干就干，我们用 来预估 ，损失函数为 。训练完成后，我们就认为
在 中， 代表原始数据， 代表带噪数据，所以这实际上在训练一个去噪模型，这也就是 DDPM 的第一个 “D” 的含义（Denoising）。具体来说， 意味着 ，或者写成 ，这启发我们将 参数化为
省去前面的系数，就得到 DDPM 原论文所用的损失函数了。可以发现，本文是直接得出了从 到 的去噪过程，而不是像之前两篇文章那样，通过 到 的去噪过程再加上积分变换来推导，相比之下本文的推导可谓更加一步到位了。另一边，我们将式（11）代入到式（10）中，化简得到
这就是反向的采样过程所用的分布，连同采样过程所用的方差也一并确定下来了。至此，DDPM 推导完毕～（提示：出于推导的流畅性考虑，本文的 跟前两篇介绍不一样，反而跟 DDPM 原论文一致。）推导：将式（11）代入到式（10）的主要化简难度就是计算
不知道读者有没有留意到一个有趣的地方：我们要做的事情，就是想将 慢慢地变为 ，而我们在借用 近似 时，却包含了“用 来预估 ”这一步，要是能预估准的话，那就直接一步到位了，还需要逐步采样吗？真实情况是，“用 来预估 ”当然不会太准的，至少开始的相当多步内不会太准。它仅仅起到了一个前瞻性的预估作用，然后我们只用 来推进一小步，这就是很多数值算法中的“预估-修正”思想，即我们用一个粗糙的解往前推很多步，然后利用这个粗糙的结果将最终结果推进一小步，以此来逐步获得更为精细的解。由此我们还可以联想到Hinton三年前提出的《Lookahead Optimizer: k steps forward, 1 step back》[3]，它同样也包含了预估（k steps forward）和修正（1 step back）两部分，原论文将其诠释为“快（Fast）-慢（Slow）”权重的相互结合，快权重就是预估得到的结果，慢权重则是基于预估所做的修正结果。如果愿意，我们也可以用同样的方式去诠释 DDPM 的“预估-修正”过程～
最后，在使用贝叶斯定理一节中，我们说式（4）没法直接用的原因是 和 均不知道。因为根据定义，我们有
其中 是知道的，而数据分布 无法提前预知，所以不能进行计算。不过，有两个特殊的例子，是可以直接将两者算出来的，这里我们也补充计算一下，其结果也正好是上一篇文章遗留的方差选取问题的答案。第一个例子是整个数据集只有一个样本，不失一般性，假设该样本为 ，此时 为狄拉克分布 ，可以直接算出 。继而代入式 (4)，可以发现结果正好是 取 的特例，即
我们主要关心其方差为 ，这便是采样方差的选择之一。第二个例子是数据集服从标准正态分布，即 。前面我们说了 意味着 ，而此时根据假设还有 ，所以由正态分布的叠加性， 正好也服从标准正态分布。将标准正态分布的概率密度代入式（4）后，结果的指数部分除掉 因子外，结果是：
我们同样主要关心其方差为 ，这便是采样方差的另一个选择。
本文分享了 DDPM 的一种颇有“推敲”味道的推导，它借助贝叶斯定理来直接推导反向的生成过程，相比之前的“拆楼-建楼”类比和变分推断理解更加一步到位。同时，它也更具启发性，跟接下来要介绍的 DDIM 有很密切的联系。[1] https://arxiv.org/abs/2010.02502
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_theorem
[3] https://arxiv.org/abs/1907.08610
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